解析式の概要

2. 二次元波動方程式の導出

真空中で波源が無く\((J=0, \rho=0)\)，時間変化を\(e^{j\omega t}\)と仮定すると，マクスウェル方程式は次のようになる。 \begin{array}{ll} {\nabla \times \boldsymbol{E}} & {=-j \omega \mu_0 \boldsymbol{H}} \\ {\nabla \times \boldsymbol{H}} & {= j \omega \epsilon_0 \boldsymbol{E}} \end{array} 電磁界がx方向に一定である二次元問題を考えると，上式の一番目は次のようになる。 \begin{array}{ll} \frac{\partial E_z}{\partial y}-\frac{\partial E_y}{\partial z} & {=-j \omega \mu_0 H_x} \\ \frac{\partial E_x}{\partial z} & {=-j \omega \mu_0 H_y} \\ -\frac{\partial E_x}{\partial y} & {=-j \omega \mu_0 H_z} \end{array} また，上式の二番目は次のようになる。 \begin{array}{ll} \frac{\partial H_z}{\partial y}-\frac{\partial H_y}{\partial z} & {=j \omega \varepsilon_0 E_x} \\ \frac{\partial H_x}{\partial z} & {=j \omega \varepsilon_0 E_y} \\ -\frac{\partial H_x}{\partial y} & {=j \omega \varepsilon_0 E_z} \end{array} さて，任意方向の偏波面を持つ電磁波は\(TE\)波と\(TM\)波に分解することができ，二つを組み合わせると， 任意方向の場合を解析することができる。




2.1 TE波の解

\(TE\)波は，電界が１成分のみを持つ場合で，上記では\((E_x, H_y, H_z)\)の組み合わせを採用する。
\(E_y=0, E_z=0,H_x=0\) なので，上式に代入すれば，次の関係式を得る。
\( \frac{\partial}{\partial y} (\frac{1}{j \omega \mu_0} \frac{\partial}{\partial y}E_x) + \frac{\partial}{\partial z} (\frac{1}{j \omega \mu_0} \frac{\partial}{\partial z}E_x) = j \omega \mu_0 E_x \)
整理すると，次の波動方程式が得られる \begin{array}{ll} \frac{{\partial}^2 E_x}{\partial y^2}+\frac{{\partial}^2 E_x}{\partial z^2} + k_0^2 E_x = 0 \end{array} 但し，\( k_0 = \omega \sqrt{\varepsilon_0 \mu_0} \) である。
上式は変数分離の方法を用いて，解くことができる。 すなわち，電界が\(y\)と\(z\)のそれぞれの関数の積で表わすことができると仮定して次のように置く。
\(E_x = E_{xy}(y) E_{xz}(z) \)
これを上式に代入して次式を得る。 \begin{array}{ll} E_{xz}(z) \frac{{\partial}^2 E_{xy}(y)}{\partial y^2}+E_{xy}(y)\frac{{\partial}^2 E_{xz}(z)}{\partial z^2} + k_0^2 E_{xz}(z) E_{xy}(y) = 0 \end{array} 両辺を\(E_{xz}(z) E_{xy}(y) \)で割ると次のようになる。 \begin{array}{ll} \frac{E_{xy}^{\prime \prime}(y)} {E_{xy}(y)} = - \frac{E_{xz}^{\prime \prime}(z)} {E_{xz}(z)} - k_0^2 \end{array} 左辺は\(y\)だけの関数，右辺は\(z\)だけの関数であるから， 上式がすべての\( (y, z) \)点で成立するためには，両辺はそれぞれ定数でなければならない。 そこで，次のように置く。
\( \frac{E_{xy}^{\prime \prime}(y)} {E_{xy}(y)} = - {\alpha}^2, \)     \( - \frac{E_{xz}^{\prime \prime}(z)} {E_{xz}(z)} - k_0^2 = - {\alpha}^2 \)
上式を書き直すと，次のようになる。
\begin{array}{ll} \frac{{\partial}^2 E_{xy}(y)}{\partial y^2}+{\alpha}^2 E_{xy}(y) = 0,     \frac{{\partial}^2 E_{xz}(z)}{\partial z^2}+{\beta}^2 E_{xz}(z) = 0 \end{array} 但し，\( {\beta}^2 = k_0 ^2 - {\alpha}^2 \)
上式の解は次のように得られる。
\begin{array}{ll} E_{xy}(y) = E_0 \exp(\pm j \alpha y),     E_{xz}(z) = E_0 \exp(\pm j \beta z) \end{array}




2.2 TM波の解

\(TM\)波は，磁界が１成分のみを持つ場合で，上記では\((E_y, E_z, H_x)\)の組み合わせを採用する。
\(H_y=0, H_z=0,E_x=0\) なので，全節の式に代入すれば，次の関係式を得る。
\( \frac{\partial}{\partial y} (-\frac{1}{j \omega \mu_0} \frac{\partial}{\partial y}H_x) + \frac{\partial}{\partial z} (\frac{1}{j \omega \mu_0} \frac{\partial}{\partial z}H_x) = -j \omega \mu_0 H_x \)
整理すると，次の波動方程式が得られる。 \begin{array}{ll} \frac{{\partial}^2 H_x}{\partial y^2}+\frac{{\partial}^2 H_x}{\partial z^2} + k_0^2 H_x = 0 \end{array} 但し，\( k_0 = \omega \sqrt{\varepsilon_0 \mu_0} \) である。
上式は\(TE\)波と同じ形をしているので、上式の解は次のように得られる。
\begin{array}{ll} H_{xy}(y) = H_0 \exp(\pm j \alpha y),     H_{xz}(z) = H_0 \exp(\pm j \beta z) \end{array}