解析式の概要

5. 全反射

平面波が入射角θiで入射するとき，平面境界が誘電体の場合を考える。
媒質 \( 1 \) をガラス \( (n=1.5) \) ，媒質 \( 2 \) を空気 \( (n=1.0) \) としたとき，入射角 \( \theta_i \) より透過角 \( \theta_t \) が大きくなるので， 入射角が大きくなると透過角が境界面に接するようになり，それ以上では全反射される。
\( TE\) 波の場合，反射および透過係数は次のように求められた。
\begin{array}{ll} R_{TE} = \frac{E_r}{E_i} = \frac{\cos\theta_i-\sqrt{n^2 - \sin^2 \theta_i}}{\cos\theta_i+\sqrt{n^2 - \sin^2 \theta_i}} \\ T_{TE} = \frac{E_t}{E_i} = \frac{2 \cos\theta_i}{\cos\theta_i+\sqrt{n^2 - \sin^2 \theta_i}} \\ \frac{Z_1}{Z_2} = \sqrt{\frac{\varepsilon_2}{\varepsilon_1}} = n \end{array} 上式において， \( n < \sin \theta_i \) の場合，実数の透過角は存在しない。 \( n = \sin\theta_i \) のときの角度 \( \theta_i = \sin^{-1}(n) \) を臨界角という。
入射角が臨界角より大きい時の反射係数と透過係数について考えよう。
\( n^2 -\sin^2 \theta_i \) が負になるので，これを \( -(\sin^2 \theta_i -n^2) \) と変形し，その平方根をとると， \( \pm j\sqrt{\sin^2 \theta_i -n^2} \) となる。 複号のプラス符号をとると，後述の透過波が \( z\to \infty \) のとき発散 するので，マイナス符号をとって，反射係数は次のようになる。 \begin{array}{ll} R_{TE} = \frac{\cos\theta_i+j\sqrt{\sin^2 \theta_i-n^2}}{\cos\theta_i-j\sqrt{\sin^2 \theta_i-n^2}} = |R_{TE}| e^{j \Phi_{TE}} \\ |R_{TE}| = 1,     \Phi_{TE} = 2\tan^{-1} ( \frac{\sqrt{\sin^2 \theta_i-n^2}}{\cos \theta_i} ) \end{array} 媒質1での合成電界は，\( z \) 方向成分も考慮して，次のようになる。 \(      \frac{E_{TE}}{E_i} = \cos\theta_i \cdot e^{-jk_1 (y \sin\theta_i + z \cos\theta_i)} + \frac{E_r}{E_i} \cos\theta_i \cdot e^{-jk_1 (y \sin\theta_i - z \cos\theta_i)} \)
上記の反射係数を適用して，共通因子をくくると，次のようになる。
\(      \frac{E_{TE}}{E_i} = \cos\theta_i \cdot e^{-jk_1 y \sin\theta_i} \{e^{-jk_1 z\cos\theta_i} + e^{+jk_1 z\cos\theta_i + j\Phi_{TE})} \} \)
上式からわかるように，\( z \) 方向は位相が時間とともにずれるため，節が固定された定在波にならない一方，\( y \) 方向は進行波のままであることを示している。

次に，透過波について考えよう。
\( TE \) 波の場合， \( z \) 方向成分も考慮して，次のようになる。 \(      E_{TE} = T_{TE} \cdot e^{-jk_2 (y \sin\theta_t + z \cos\theta_t)} \)
上式の指数関数の変数 \( k_2 \cos\theta_t \) をスネルの法則を用いて， 次のように変形する。
\(      k_2 \cos\theta_t = \sqrt{k_2^2 - (k_2\sin\theta_t)^2} = \sqrt{k_2^2 - (k_1\sin\theta_i)^2} = k_1 \sqrt{n^2 - \sin^2\theta_i} \)
そこで，前述の全反射の条件 \( \sqrt{n^2 \sin\theta_i} = -j\sqrt{\sin^2 \theta_i -n^2} \) を用いると，次のようになる。
\(      E_{TE} = T_{TE} \cdot e^{- k_1 z \sqrt{\sin^2 \theta_i -n^2} - jk_1 y\sin\theta_i} \)
上式の透過係数は次のように，虚数になる。
\(      T_{TE} = \frac{E_t}{E_i} = \frac{2 \cos\theta_i}{\cos\theta_i-j\sqrt{\sin^2 \theta_i-n^2}} \)
従って，電界は次のようになる。
\(      E_{TE} = \frac{2}{1-j(\frac{\sqrt{\sin^2 \theta_i-n^2}}{\cos\theta_i} )} \cdot e^{ -k_1 z \sqrt{\sin^2 \theta_i -n^2} - jk_1 y\sin\theta_i} \)
上式からわかるように，透過電界\( |\frac{E_{TE}}{E_i}| \) は電界の大きさが 境界からの距離 \( z \) に沿って指数関数的に減少し， \( y \) 方向には進行する波を示している。 これをエバネッセント波と呼ぶ。