解析式の概要

3. 反射および透過係数

平面波が平面で接する媒質１から媒質２へ入射角 \( \theta_i \) で入射する。 この場合，前節で述べたように，任意方向の偏波面を持つ電磁波は\(TE\)波と\(TM\)波に 分解することができるので，それぞれの場合について解析していく。




3.1 TM波の場合

\(TM\)波は，電界の座標軸成分が\( 2 \)つになり少し複雑のため，この場合を説明する。
まず，下図に解析すべき座標系と電界・磁界を示す。




入射波の表示式は，次のように置ける。 \begin{array}{ll} E_x^i = E_i \cdot e^{-jk_1 (y \sin\theta_i + z \cos\theta_i)} \end{array} 上図において，電界と磁界のベクトル方向に注意して， 境界面では電界磁界の接線成分が等しいという境界条件を考えると，次式が成り立つ。 \begin{array}{ll} -E_i \cos\theta_i \cdot e^{-jk_1 y \sin\theta_i} + E_r \cos\theta_r \cdot e^{-jk_1 y \sin\theta_r} = -E_t \cos\theta_t \cdot e^{-jk_2 y \sin\theta_t} \\ H_i \cdot e^{-jk_1 y \sin\theta_i} + H_r \cdot e^{-jk_1 y \sin\theta_r} = H_t \cdot e^{-jk_2 y \sin\theta_t} \end{array} 上式が \( y \) に無関係に成立するためには，次の条件が必要である。 \begin{array}{ll} \theta_i = \theta_r \\ k_1 \sin\theta_i = k_2 \sin\theta_t \end{array} 第１式はスネルの反射の法則，第２式はスネルの屈折の法則と呼ばれている。
上記の条件を考慮に入れると，先の境界条件式は次のように簡単になる。
\(      -E_i \cos\theta_i + E_r \cos\theta_r = -E_t \cos\theta_t \)
\(      H_i + H_r = H_t \)
電界と磁界の間には，媒質1，媒質2ではそれぞれ次のような関係がある。 \begin{array}{ll} H(z) = \frac{1}{Z_1} E(z),     H(z) = \frac{1}{Z_2} E(z) \end{array} ここで， \( Z_1，Z_2 \) は波動インピーダンスであり，波動方程式より次の関係がある。 \begin{array}{ll} Z_1 = \frac{\omega \mu_1}{k_1} = \sqrt{ \frac{\mu_1}{\varepsilon_1}},     Z_2 = \frac{\omega \mu_2}{k_2} = \sqrt{ \frac{\mu_2}{\varepsilon_2}} \end{array} これらを前述の境界条件から得られた電磁界の式に代入すると，次のようになる。
\(      \frac{1}{Z_1} E_i + \frac{1}{Z_1} E_r = \frac{1}{Z_2} E_t \)
上式の \(E_t \) を，境界条件式から簡単化された電界の関係式に代入すると，次のようになる。
\(      -E_i \cos\theta_i + E_r \cos\theta_r = -Z_2 (\frac{1}{Z_1} E_i + \frac{1}{Z_1} E_r) \cos\theta_t \)
反射の法則を用いて整理すると，次のようになる。
\(      (E_i - E_r) \cos\theta_i = \frac{Z_2}{Z_1} (E_i + E_r) \cos\theta_t \)
\(E_i，Er \)についてまとめると，次のようになる。
\(      (\cos\theta_i-\frac{Z_2}{Z_1}\cos\theta_t)E_i = -(\cos\theta_i+\frac{Z_2}{Z_1}\cos\theta_t)E_r \)
媒質1 と 2 の透磁率は等しいと仮定すると，\( Z_1，Z_2 \)の関係は屈折率 \(n\) になる。
\(      \frac{Z_1}{Z_2} = \sqrt{\frac{\varepsilon_2}{\varepsilon_1}} = n \)
この関係を用いると，反射係数は次のように求められる。
\(      R_1 = \frac{E_r}{E_i} = -\frac{\cos\theta_i-\frac{Z_2}{Z_1}\cos\theta_t}{\cos\theta_i+\frac{Z_2}{Z_1}\cos\theta_t} = -\frac{n\cos\theta_i-\cos\theta_t}{n\cos\theta_i+\cos\theta_t} \)
さらに，スネルの屈折の法則を適用すると，次の関係式が得られる。
\(      \cos\theta_t = \sqrt{1-\sin^2 \theta_t} = \sqrt{1-\frac{k_1^2}{k_2^2}\sin^2 \theta_i} = \sqrt{1-\frac{1}{n^2}\sin^2 \theta_i} \)
この関係を用いると，反射係数は次式で求められる。 \begin{array}{ll} R_1 = \frac{E_r}{E_i} = -\frac{n^2 \cos\theta_i-\sqrt{n^2 - \sin^2 \theta_i}}{n^2 \cos\theta_i+\sqrt{n^2 - \sin^2 \theta_i}} \end{array} 同様にして，透過係数は次式で求められる。 \begin{array}{ll} T_1 = \frac{E_t}{E_i} = -\frac{2n \cos\theta_i}{n^2 \cos\theta_i+\sqrt{n^2 - \sin^2 \theta_i}} \end{array} これらは，フレネルの反射係数，透過係数と呼ばれている。